Dezimal ↔ Binär umrechnen

Mit dem Binärsystem aus Lektion 2 kannst du Werte in Bits darstellen. Aber wie kommt man von einer Dezimalzahl zur Binär-Darstellung – und wieder zurück? Diese Lektion zeigt dir die zwei Standard-Methoden für die Umrechnung Dezimal → Binär und den Rückweg.

In der IHK-Prüfung wirst du fast immer „Rechnen Sie 142 in das Binärsystem um" oder „Welcher Dezimalwert entspricht 101101002?" sehen. Wer die Methoden im Kopf hat und ein paar Zweier-Potenzen kennt, schafft das in 30 Sekunden ohne Taschenrechner.

1) Methode 1 für Dezimal → Binär: Subtraktion mit Zweier-Potenzen

Die für die IHK-Prüfung wichtigste Methode, weil sie schnell ist und im Kopf funktioniert. Die Idee: gehe die Zweier-Potenzen von oben nach unten durch (128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1) und ziehe jeweils ab, wenn die Potenz kleiner-gleich dem verbleibenden Rest ist. Bei Abzug schreibst du eine 1, sonst eine 0.

Probier es mit einer beliebigen Zahl 0-255 aus:

2) Methode 2 für Dezimal → Binär: Division durch 2

Die klassische Schulbuch-Methode. Die Idee: teile die Zahl wiederholt durch 2 und notiere die Reste (Modulo 2 – also entweder 0 oder 1). Die Reste liest du am Ende von unten nach oben – das ist die Binärzahl.

Beispiel: 142 ÷ 2 = 71 Rest 0, dann 71 ÷ 2 = 35 Rest 1, und so weiter, bis die Zahl 0 wird. Die gesammelten Reste rückwärts gelesen ergeben das Binär-Ergebnis:

3) Methode für Binär → Dezimal

Der Rückweg ist einfacher als Dezimal → Binär. Die Idee aus Lektion 2: jedes Bit hat einen Stellenwert. Du summierst einfach die Stellenwerte aller Stellen, an denen eine 1 steht. Probier es:

4) Algorithmus als Pseudocode

Falls du die Methoden programmatisch verstehen willst, hier beide als Pseudocode. In den meisten Programmiersprachen gibt es natürlich eingebaute Funktionen (Integer.toBinaryString() in Java, bin() in Python), aber die Mechanik zu verstehen ist wichtig:

// Dezimal → Binär (Divisions-Methode)
function decToBin(n):
    result = ""
    while n > 0:
        result = (n mod 2) + result   // Rest vorne anhängen
        n = n / 2 (ganzzahlig)
    return result

// Binär → Dezimal
function binToDec(bin):
    result = 0
    for each bit in bin (von links nach rechts):
        result = result * 2 + bit     // Horner-Schema
    return result

Beide Algorithmen laufen in linearer Zeit zur Anzahl der Stellen – siehe O-Notation. Bei 32-bit-Zahlen sind das maximal 32 Schritte, also vernachlässigbar schnell.

5) Spezielle Werte und Patterns, die man auswendig kennen sollte

Einige Binärwerte tauchen in der Informatik so oft auf, dass sie auswendig sitzen sollten. Vor allem die „runden" Zweier-Potenzen und ein paar 8-Bit-Muster:

• 00000000 = 0 (alle Bits aus)
• 00000001 = 1 (nur LSB)
• 00001111 = 15 (untere 4 Bits, eine Hex-Ziffer)
• 00010000 = 16
• 01000000 = 64
• 10000000 = 128 (nur MSB – höchste Stelle eines 8-bit-Werts)
• 11110000 = 240 (obere 4 Bits)
• 11111110 = 254
• 11111111 = 255 (alle Bits an, größter 8-bit-Wert)

Genauso wichtig: das Muster zu erkennen, dass „alle 1en" immer 2ⁿ - 1 ergibt. Acht Einsen → 255. Sechzehn Einsen → 65535. Das ist ein wiederkehrender Trick.

6) Übung – versuch dich selbst

Zufällige Aufgaben zum Üben. Klick „Neue Aufgabe" und gib die Antwort ein. Mehr Übung gibt's in Lektion 10:

7) Häufige Fehler

Drei Patterns, die in Klausuren immer wieder Punkte kosten – kennen, vermeiden:

• Bit-Reihenfolge bei Divisions-Methode falsch: die Reste werden von unten nach oben gelesen, nicht von oben nach unten. Wer hier dreht, bekommt den gespiegelten Wert.
• Führende Nullen vergessen: bei 8-Bit-Darstellung soll 5 als 00000101 geschrieben werden, nicht als 101. Bei Subnetzmasken oder Bytes ist die feste Länge oft wichtig.
• Falsche Stelle erkannt: die rechte Stelle ist 2⁰ = 1, nicht 2¹. Die Position-Indizes beginnen bei 0. Das vergisst sich gerne.

Zusammenfassung

Zwei Methoden für Dezimal → Binär: (1) Subtraktion mit Zweier-Potenzen – gehe 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1 durch, ziehe ab wenn die Potenz reinpasst, schreibe 1, sonst 0. Schnell im Kopf. (2) Division durch 2 – teile wiederholt, sammle die Reste, lies sie von unten nach oben. Mechanisch und für beliebige Größen. Für Binär → Dezimal: Stellenwerte addieren – jede 1 wird mit ihrem Stellenwert (Zweier-Potenz) multipliziert und alles summiert. Wichtige Werte: 2¹=2, 2²=4, 2³=8, 2⁴=16, 2⁵=32, 2⁶=64, 2⁷=128, 2⁸=256 – auswendig lernen! Bei 8-Bit-Darstellung führende Nullen mitnotieren (5 = 00000101, nicht 101). Wertebereich: 8 Bit = 0-255 (= 2⁸ - 1). Häufige Stolperfalle: Bit-Reihenfolge bei Divisions-Methode (Reste von unten nach oben lesen). Beide Umrechnungen werden in der IHK-Prüfung praktisch immer abgefragt – sicheres Beherrschen ist Pflicht. Hexadezimal kommt als nächstes; die Umrechnung dorthin ist sogar einfacher.