Aufgaben Zahlensysteme & Logik
Die letzte Lektion des Kurses – jetzt geht es an die Prüfungsvorbereitung. Wir gehen zwölf typische IHK-Aufgaben zu allen Themen durch: Binärsystem, Umrechnungen, Hex, Zweierkomplement, Boolesche Algebra und Bitmasken. Versuch erst selbst zu antworten, dann die Musterlösung aufklappen.
Die Aufgabentypen entsprechen denen aus echten Prüfungen: Umrechnung, Berechnung, Wahrheitstabelle, Vereinfachung mit Booleschen Gesetzen und Praxis-Szenarien. Wer diese fünf Muster beherrscht, ist gut vorbereitet.
1) Überblick
Aufgaben in dieser Lektion
12
Aufgaben
5
Aufgabentypen
6
Themen abgedeckt
~38
Punkte total
Punktzahlen sind Orientierungswerte. In realen IHK-Prüfungen werden Umrechnungen meist mit 1-2 Punkten pro Wert bewertet, Wahrheitstabellen mit 3-5 Punkten, Praxis-Szenarien (Subnetz berechnen, Permission-Bits) mit bis zu 8 Punkten. Wichtig ist nicht nur das Ergebnis, sondern der Rechenweg. Auch wenn das Endergebnis falsch ist, gibt es bei sichtbarem Lösungsweg meist Teilpunkte.
2) Aufgaben Teil A – Zahlensysteme & Umrechnungen
Aufgaben 1–4
Dezimal in Binär und Hex
Rechnen Sie die Dezimalzahl
185 in das Binär- und das Hexadezimalsystem um. Zeigen Sie den Rechenweg.Musterlösung
Dezimal → Binär (Subtraktions-Methode):
185 ≥ 128? Ja → 1, Rest: 185 - 128 = 57
57 ≥ 64? Nein → 0
57 ≥ 32? Ja → 1, Rest: 57 - 32 = 25
25 ≥ 16? Ja → 1, Rest: 25 - 16 = 9
9 ≥ 8? Ja → 1, Rest: 9 - 8 = 1
1 ≥ 4? Nein → 0
1 ≥ 2? Nein → 0
1 ≥ 1? Ja → 1, Rest: 0
→ 185₁₀ = 10111001₂
Binär → Hex (4er-Blöcke):
1011 1001
B 9
→ 185₁₀ = B9₁₆
Kontrolle: B = 11, also B9 = 11·16 + 9 = 176 + 9 = 185 ✓
Hexadezimal in Binär und Dezimal
Welcher Dezimal- und welcher Binärwert entspricht
2F16?Musterlösung
Hex → Binär: Jede Hex-Ziffer wird in 4 Bits übersetzt.
2 = 0010
F = 1111
→ 2F₁₆ = 00101111₂ (kurz: 101111₂)
Hex → Dezimal (Stellenwerte):
2F = 2 · 16¹ + F · 16⁰
= 2 · 16 + 15 · 1
= 32 + 15
= 47
Kontrolle über Binär: 32 + 8 + 4 + 2 + 1 = 47 ✓
Tipp: Bei Hex-Aufgaben mit einer Buchstabenziffer immer kurz aufschreiben, welcher Dezimalwert sie hat: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15. Spart Tippfehler.
Wertebereich von Datentypen
Wie viele unterschiedliche Werte können in 12 Bit dargestellt werden? Wie ist der Wertebereich (a) unsigned und (b) signed im Zweierkomplement?
Musterlösung
Anzahl Werte: 2¹² = 4 096 verschiedene Werte.
(a) Unsigned (nur positiv): Von 0 bis 2¹² - 1 = 0 bis 4 095.
(b) Signed (Zweierkomplement): Von -2¹¹ bis 2¹¹ - 1 = -2 048 bis +2 047.
(a) Unsigned (nur positiv): Von 0 bis 2¹² - 1 = 0 bis 4 095.
(b) Signed (Zweierkomplement): Von -2¹¹ bis 2¹¹ - 1 = -2 048 bis +2 047.
Klassische Falle: Bei 12 Bit gibt es 2¹² = 4 096 Werte, aber der größte unsigned Wert ist 4 095. Wer „4 096" als Antwort auf „größter Wert" schreibt, hat einen Off-by-one-Fehler – wegen der Null als 4 096. Wert. Siehe Lektion 2.
Allgemein: für n Bit: Anzahl Werte = 2ⁿ, größter unsigned = 2ⁿ - 1, Bereich signed = [-2ⁿ⁻¹ ... +2ⁿ⁻¹ - 1].
Negative Zahl im Zweierkomplement
Stellen Sie die Zahl
-25 als 8-Bit Zweierkomplement dar. Zeigen Sie den Rechenweg.Musterlösung
Schritt 1: |+25| binär. 25 = 16 + 8 + 1 →
Schritt 2: Alle Bits flippen.
00011001₂Schritt 2: Alle Bits flippen.
+25 als Binär: 00011001
Bits invertiert: 11100110
Schritt 3: + 1 addieren.
11100110
+00000001
─────────
11100111
Ergebnis: -25 in 8-Bit Zweierkomplement = 11100111₂ = E716
Kontrolle: MSB ist 1 → negative Zahl ✓. Rückrechnung:
11100111 → flippen → 00011000 → + 1 → 00011001 = 25. Original-Bitmuster war also -25 ✓3) Aufgaben Teil B – Boolesche Algebra
Aufgaben 5–8
Wahrheitstabelle erstellen
Erstellen Sie die Wahrheitstabelle für den Ausdruck
Y = (A ∧ B) ∨ (¬A ∧ C) mit drei Eingangsvariablen A, B, C.Musterlösung
Bei 3 Variablen gibt es 2³ = 8 Kombinationen:
A B C | A∧B ¬A∧C | Y
──────┼─────────────┼────
0 0 0 | 0 0 | 0
0 0 1 | 0 1 | 1
0 1 0 | 0 0 | 0
0 1 1 | 0 1 | 1
1 0 0 | 0 0 | 0
1 0 1 | 0 0 | 0
1 1 0 | 1 0 | 1
1 1 1 | 1 0 | 1
Strategie: Hilfsspalten für jeden Teilterm einfügen (hier
A∧B und ¬A∧C). Dann das Endergebnis daraus berechnen. Macht das systematische Auswerten viel sicherer als alles auf einmal im Kopf.Ausdruck mit DeMorgan vereinfachen
Formen Sie den folgenden Ausdruck mithilfe der DeMorganschen Gesetze um, sodass die Negation nicht mehr außen steht:
¬(A ∨ ¬B ∨ C).Musterlösung
Anwendung des DeMorgan-Gesetzes
¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B. Die Negation wird auf jedes Element verteilt, ∨ wird zu ∧:
¬(A ∨ ¬B ∨ C)
= ¬A ∧ ¬(¬B) ∧ ¬C // DeMorgan
= ¬A ∧ B ∧ ¬C // Doppelnegation: ¬¬B = B
Ergebnis: ¬A ∧ B ∧ ¬C
Merkregel: Negation geht durch die Klammer – ∨ wird zu ∧ (und umgekehrt), jede Variable wird negiert. Bei mehreren Operanden im gleichen Operator (hier dreifach ∨) wirkt DeMorgan auf alle gleichzeitig.
XOR-Anwendung verstehen
Was ist das Ergebnis von
101101002 XOR 010100102? Wie viele Bits sind in den beiden Operanden unterschiedlich? Wie nennt man diese Anzahl?Musterlösung
XOR Bit für Bit anwenden: gleiche Bits → 0, unterschiedliche Bits → 1.
Anzahl unterschiedlicher Bits: die 1en im Ergebnis zählen → 5 Bits unterschiedlich.
Diese Anzahl heißt Hamming-Distanz. Sie wird zur Fehlererkennung in der Datenübertragung und beim Vergleich von Codes verwendet.
1 0 1 1 0 1 0 0
⊕ 0 1 0 1 0 0 1 0
──────────────────
1 1 1 0 0 1 1 0
Ergebnis: 11100110₂Anzahl unterschiedlicher Bits: die 1en im Ergebnis zählen → 5 Bits unterschiedlich.
Diese Anzahl heißt Hamming-Distanz. Sie wird zur Fehlererkennung in der Datenübertragung und beim Vergleich von Codes verwendet.
Verständnis: XOR ist der „Unterschieds-Detektor". Jedes 1-Bit im XOR-Ergebnis sagt: hier waren die beiden Operanden anders. Siehe Lektion 8.
DeMorgansche Gesetze formulieren
Nennen Sie die zwei DeMorganschen Gesetze in formaler Schreibweise. Erklären Sie kurz mit eigenen Worten, was sie aussagen.
Musterlösung
Erstes DeMorgansches Gesetz:
Zweites DeMorgansches Gesetz:
Gemeinsame Aussage: Die Negation kann „durch die Klammer hindurch" angewendet werden – dabei kippt jeder Operand und der Operator wechselt zwischen ∧ und ∨.
¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B
Sinn: „Nicht (A UND B)" ist dasselbe wie „NICHT A ODER NICHT B". Wenn die UND-Verknüpfung falsch sein soll, muss mindestens eine der beiden Komponenten falsch sein.Zweites DeMorgansches Gesetz:
¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B
Sinn: „Nicht (A ODER B)" ist dasselbe wie „NICHT A UND NICHT B". Wenn das ODER falsch sein soll, müssen beide Komponenten falsch sein.Gemeinsame Aussage: Die Negation kann „durch die Klammer hindurch" angewendet werden – dabei kippt jeder Operand und der Operator wechselt zwischen ∧ und ∨.
Anwendung in der Praxis: Code-Bedingungen elegant negieren, Schaltungen optimieren (alles auf NAND/NOR umbauen), logische Ausdrücke vereinfachen.
4) Aufgaben Teil C – Bitmasken & Praxis
Aufgaben 9–12
Subnetzmaske anwenden
Eine Netzwerkkarte hat die IP-Adresse
192.168.10.130 mit Subnetzmaske 255.255.255.192. Berechnen Sie die Netzwerk-Adresse durch bitweise AND-Operation auf das letzte Oktett.Musterlösung
Die ersten drei Oktette von IP und Maske sind identisch (255.255.255.x), sie bleiben unverändert. Spannend ist nur das vierte Oktett.
130 in binär: 128 + 2 =
192 in binär: 128 + 64 =
Host-Teil: die letzten 6 Bits der IP =
130 in binär: 128 + 2 =
10000010192 in binär: 128 + 64 =
11000000
10000010 (130 = Host-Oktett)
∧ 11000000 (192 = Maske)
──────────
10000000 = 128
Netzwerk-Adresse: 192.168.10.128Host-Teil: die letzten 6 Bits der IP =
000010 = 2. Also „Host Nummer 2 im Netz 192.168.10.128/26".
Hintergrund: Eine /26-Maske teilt jedes /24-Subnetz in vier kleinere mit je 64 Adressen. Mehr in K15 Subnetzmaske berechnen.
Unix-Dateirechte
Welche Rechte stellt der Befehl
chmod 754 datei.sh ein – für Besitzer, Gruppe und andere? Schreiben Sie die Rechte sowohl als rwx-String als auch im Klartext.Musterlösung
Jede Oktal-Ziffer ist eine 3-Bit-Maske mit r=4, w=2, x=1:
Im Klartext:
7 = 4+2+1 = rwx (Besitzer)
5 = 4+0+1 = r-x (Gruppe)
4 = 4+0+0 = r-- (Andere)
Als rwx-String: rwxr-xr--Im Klartext:
- Besitzer: darf lesen, schreiben, ausführen
- Gruppe: darf lesen und ausführen, aber nicht schreiben
- Andere: darf nur lesen
In der Praxis:
754 ist eine gängige Berechtigung für Skripte, die von der eigenen Gruppe ausgeführt werden dürfen, aber vor versehentlichem Editieren sicher sind. Mehr in Lektion 9.Flag-Operationen
Ein Status-Byte hat aktuell den Wert
(a) Bit 4 setzen (Position von rechts ab 0).
(b) Bit 1 löschen.
(c) Bit 7 umschalten.
Geben Sie für jeden Teil die nötige Maske und das Resultat an.
101100102. Berechnen Sie:(a) Bit 4 setzen (Position von rechts ab 0).
(b) Bit 1 löschen.
(c) Bit 7 umschalten.
Geben Sie für jeden Teil die nötige Maske und das Resultat an.
Musterlösung
Bit-Positionen von rechts: 7 6 5 4 3 2 1 0. Ausgang:
(a) Bit 4 setzen → OR mit Maske
10110010.(a) Bit 4 setzen → OR mit Maske
00010000 (= 16, oder 1<<4):
10110010
∨ 00010000 (Maske)
──────────
10110010 (Bit 4 war schon gesetzt → keine Änderung)
(b) Bit 1 löschen → AND mit Maske 11111101 (= ~00000010):
10110010
∧ 11111101 (~ der Maske)
──────────
10110000 (Bit 1 ist jetzt 0)
(c) Bit 7 umschalten → XOR mit Maske 10000000 (= 128):
10110010
⊕ 10000000 (Maske)
──────────
00110010 (Bit 7 kippt von 1 auf 0)
Faustregel: Maske immer mit dem Pattern
1<<n (1 in der betroffenen Position, sonst 0). Setzen → OR. Löschen → AND mit invertierter Maske. Umschalten → XOR.Bit-Shift und Multiplikation
Beantworten Sie:
(a) Was ergibt
(b) Was ergibt
(c) Erklären Sie kurz, warum Bit-Shifts oft schneller sind als Multiplikation oder Division mit Zweier-Potenzen.
(a) Was ergibt
5 << 3?(b) Was ergibt
200 >> 2 (unsigned)?(c) Erklären Sie kurz, warum Bit-Shifts oft schneller sind als Multiplikation oder Division mit Zweier-Potenzen.
Musterlösung
(a) Linksshift um 3 = Multiplikation mit 2³ = 8:
Bit-Shifts sind elementare CPU-Operationen, die in einem einzigen Taktzyklus ausgeführt werden – das Bitmuster im Register wird einfach „verschoben". Multiplikation und Division dagegen benötigen ein deutlich komplexeres Schaltwerk und mehrere Taktzyklen. Moderne Compiler optimieren daher Multiplikationen mit Zweier-Potenzen automatisch zu Shifts (z.B.
5 = 00000101
5 << 3 = 00101000 = 5 · 8 = 40
(b) Rechtsshift um 2 = ganzzahlige Division durch 2² = 4:
200 = 11001000
200 >> 2 = 00110010 = 200 / 4 = 50
(c) Warum schneller?Bit-Shifts sind elementare CPU-Operationen, die in einem einzigen Taktzyklus ausgeführt werden – das Bitmuster im Register wird einfach „verschoben". Multiplikation und Division dagegen benötigen ein deutlich komplexeres Schaltwerk und mehrere Taktzyklen. Moderne Compiler optimieren daher Multiplikationen mit Zweier-Potenzen automatisch zu Shifts (z.B.
x * 8 wird zu x << 3).
Achtung bei signed: ein Rechtsshift auf negative Zahlen verhält sich Sprach-abhängig unterschiedlich. In Java gibt's deshalb
>> (arithmetisch, behält Vorzeichen) und >>> (logisch, immer mit 0 nachfüllen). Mehr in Lektion 9.5) Mini-Quiz: schnelle Zuordnung
Sieben kurze Multiple-Choice-Fragen zur Wiederholung der Kernkonzepte:
Schnell-Quiz
6) Cheatsheet – das musst du auswendig wissen
Am Tag vor der Prüfung überfliegen. Wer diese Begriffe und Werte in der Klausur souverän einsetzt, holt die letzten Punkte:
Spickzettel
Stellenwertsystem
Wert hängt von Position ab. Basis × Stellenwert. Alle 3 Systeme funktionieren so.
Basen
Binär = 2, Oktal = 8, Dezimal = 10, Hex = 16
Wertebereich n Bit
Anzahl:
2ⁿ. Größter unsigned: 2ⁿ-1. Signed: -2ⁿ⁻¹...+2ⁿ⁻¹-12er-Potenzen
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024
Wichtige Werte
FF = 255 · FFFF = 65535 · 80 = 128 (MSB)
Bit/Byte/Nibble
Bit = 1 Stelle · Nibble = 4 Bit = 1 Hex-Ziffer · Byte = 8 Bit = 2 Hex-Ziffern
Bin ↔ Hex
4er-Blöcke, jeder ergibt eine Hex-Ziffer. Lookup ohne Rechnen.
Zweierkomplement
MSB = Vorzeichen. Negation: alle Bits flippen + 1.
UND / ODER / NICHT
AND: beide 1. OR: einer reicht. NOT: kippt. Grundoperationen.
XOR
Liefert 1 bei unterschiedlichen Eingängen. „Unterschieds-Detektor".
NAND / NOR
Negationen von AND/OR. Funktional vollständig – aus NAND allein baubar.
DeMorgan
¬(A∧B) = ¬A∨¬B · ¬(A∨B) = ¬A∧¬BBit prüfen
(wert & maske) != 0 → AND mit MaskeBit setzen
wert | maske → OR mit MaskeBit löschen
wert & ~maske → AND mit invertierter MaskeBit toggeln
wert ^ maske → XOR mit MaskeShifts
x << n = x · 2ⁿ · x >> n = x / 2ⁿUnix rwx
r=4 · w=2 · x=1 ·
chmod 755 = rwxr-xr-xWer in der Klausur „Zweierkomplement", „Hamming-Distanz", „DeMorgansche Gesetze" und „funktional vollständig" als selbstverständliche Fachbegriffe einsetzt, hebt sich von der Masse ab – das macht in der Punktezuteilung oft den Unterschied.
Zusammenfassung & Kurs-Abschluss
Damit ist der Kurs Zahlensysteme & Boolesche Algebra abgeschlossen. Du hast eine vollständige Tour gemacht: Stellenwertsysteme, das Binärsystem als Sprache der Computer, die Umrechnungs-Methoden, das praktische Hexadezimalsystem mit dem 4-Bit-Trick, die Umrechnungen zwischen allen Systemen, das Zweierkomplement für negative Zahlen, die Booleschen Grundoperationen, XOR/NAND/NOR mit DeMorgan und schließlich Bitmasken in der IT-Praxis. Die zwölf Aufgaben hier decken alle prüfungsrelevanten Aufgabentypen ab. Take-Aways: Zahlensysteme sind nur unterschiedliche Schreibweisen derselben Zahl. Binär ist universelle Brücke zwischen Dezimal und Hex. Zweierkomplement erlaubt Subtraktion durch Addition. Boolesche Algebra ist Grundlage aller Logik in Hardware und Code. Bitmasken sind das praktische Werkzeug für effizientes Bit-Manipulieren in Subnetzmasken, Unix-Rechten, API-Flags und vielen anderen Stellen. Nächster Schritt im Lehrplan: Algorithmen und Datenstrukturen (K39), wo viele dieser Konzepte angewendet werden.